Question

【題目】如圖，AD是等邊三角形ABC的高，點E是AD上的一個動點（點E不與點A重合），連接CE，將線段CE繞點E順時針旋轉60°得到EF，連接BF、CF．

（1）猜想：△CEF是　三角形；

（2）求證：AE＝BF；

（3）若AB＝4，連接DF，在點E運動的過程中，請直接寫出DF的最小值　　．

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2）見解析；（3）1

【解析】

（1）根據旋轉的性質和有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．

（2）根據等邊三角形的性質證明△ACE≌△BCF即可解決問題．

（3）根據等邊三角形的性質和全等的性質可證明∠CBF＝∠CAE＝30°，推出點F的運動軌跡是射線BF（與BC的夾角為30°），再根據垂線段最短解決問題即可．

（1）解：結論：△CEF是等邊三角形．

理由：由旋轉可知，CE＝EF，

∵CE＝EF，∠CEF＝60°，

∴△CEF是等邊三角形，

故答案為：等邊．

（2）證明：∵△ABC，△CEF都是等邊三角形，

∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF．

（3）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠BAD＝30°，BD＝CD＝2，

∵△ACE≌△BCF，

∴∠CAE＝∠CBF＝30°，

∴點F的運動軌跡是射線BF（與BC的夾角為30°），

∴當DF⊥BF時，DF的值最小，最小值＝BD＝，

故答案為：1．