Question

【題目】我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地，我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A（4，0），B（－4，0），D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)， BC與經過A，B，D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD．顯然△DCE，△DEF，△DAE是半直角三角形．

（1）求證：△ABC是半直角三角形；
（2）求證：∠DEC=∠DEA；
（3）若點D的坐標為（0，8），
①求AE的長；
②記BC與AD的交點為F，求ΔACF與ΔBCA的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC=90°=45°，
∴∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形.
（2）證明：∵四邊形ABDE是⊙M的內接四邊形，
∴∠DEA+∠DBA=180°，DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB，
又∵∠DEC+∠DEB=180°，∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∴∠DEC+∠DBA=180°，
∴∠DEA=∠DEC.
（3）解：①∵點D的坐標為（0,8），
∴OM=8-R，
又∵ OM2+OA2=MA2，
∴ （8-R）2+42=R2，
∴R=5 ，
∴⊙M 的半徑為5 ，
連接ME,MA，
∴∠EMA=90°，
∴EA2=MA2+ME2=25+25=50，
∴ EA=5，

②由（1）知∠ADE=∠CDE，
由（2）知∠DEA=∠DEC，
又∵DE=DE，
∴ △CDE≌△ADE（ASA），
∴CD=AD，
又∵OD=8，OA=OB=4，
∴DA=DB=DC=4，
又∵S△ABD=.AB.OD=.AD.h，
∴h==，
∴=
=
=
=.

【解析】（1）由∠ADC=90°，DE平分∠ADC得出∠ADE=∠CDE=∠ADC=90°=45°，即∠ABE=∠ADE=45°，從而得證.
（2）由圓內接四邊形得出∠DEA+∠DBA=180°，DB=DA，再根據等腰三角形性質得出∠DBA=∠DAB，又由鄰補角和同弧所對的圓周角相等得出∠DEC+∠DBA=180°，再同角的補角相等得出∠DEA=∠DEC.
（3）①由已知條件得出OM=8-R，由勾股定理得出OM2+OA2=MA2，求出R=5；連接ME,MA得出∠EMA=90°，由勾股定理得出 EA=5.

②由已知條件得出△CDE≌△ADE（ASA），根據全等三角形的性質得出CD=AD；由已知條件得出DA=DB=DC=4；S△ABD=.AB.OD=.AD.h得出
h==，依據===.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的平分線的相關知識，掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線，以及對對頂角和鄰補角的理解，了解兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個．