Question

【題目】在△ABC中，AB=AC= ， BC=2，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E。

（1）求證：E是BC的中點；
（2）連結(jié)DE，求證：△CDE∽△CBA；
（3）求△CDE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
即AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴E為BC中點.


（2）證明：四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BED+∠BAD=180°，
又∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠BAD=∠DEC，
又∵∠BCA=∠DCE，
∴△CDE∽△CBA.


（3）解：由（1）知E為BC中點，
∵BC=2，
∴CE=BE=BC=1，
由（2）知△CDE∽△CBA，
又∵AC=，
∴CE:CA=1：，
∴=，
又由（1）知即AE⊥BC，
∴AE==2，
∴S△ABC=.BC.AE=×2×2=2，
∴S△CDE=S△ABC=×2=.

【解析】（1）連接AE，由圓周角定理得出∠AED=90°，又由等腰三角形的性質(zhì)得出E為BC中點.
（2）由圓的內(nèi)接四邊形和鄰補角定義得出∠BAD=∠DEC，又由∠BCA=∠DCE，根據(jù)相似三角形的判定：兩個對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證.
（3）由（1）知E為BC中點，結(jié)合已知得出CE=BE=BC=1，再結(jié)合勾股定理得出AE==2，又由（2）知△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=，由S△ABC=.BC.AE=×2×2=2，得出S△CDE=S△ABC=×2=.
【考點精析】利用三角形的面積和等腰三角形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．