Question

【題目】（2016浙江省麗水市）如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點E．

（1）求證：AD是半圓O的切線；

（2）連結CD，求證：∠A=2∠CDE；

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題（1）連接OD，BD，根據圓周角定理得到∠ABO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據等式的性質得到∠ADO=∠ABO=90°，根據切線的判定定理即可得到即可；

（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結論；

（3）根據已知條件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根據平角的定義得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧長的公式即可計算出結果．

試題解析：（1）證明：連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圓O的切線；

（2）證明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；

（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴的長==．