Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若將直線BC平移，使其經過點A，且與拋物線相交于點D，連接BD，試求出∠BDA的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵該拋物線過點C（0，2），

∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2．

將A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+2．

（2）解：存在．

由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC= =2 ．

在Rt△BOC中，設BC邊上的高為h，則 ×2 h= ×2×4，

∴h= ．

∵△BEA∽△COB，設E點坐標為（x，y），

∴ = ，

∴y=±2

將y=2代入拋物線y=﹣ x2+ x+2，

得x1=0，x2=3．

當y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點坐標為（0，2），（3，2）．

（3）解：如圖2，連結AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

設BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

∴ ，

yBC=﹣ x+2．

由BC∥AD，設AD的解析式為y=﹣ x+n，由圖象，得

0=﹣ ×（﹣1）+n

∴n=﹣ ，

yAD=﹣ x﹣ ．

∴﹣ x2+ x+2=﹣ x﹣ ，

解得：x1=﹣1，x2=5

∴D（﹣1，0）與A重合，舍去；

∴D（5，﹣3）．

∵DE⊥x軸，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD= ．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC= ，BC=2 ，

∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四邊形ACBF是矩形，

∴AC=BF= ，

在Rt△BFD中，由勾股定理，

得DF= ，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．

【解析】（1）本題需先根據已知條件，過C點，設出該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2，再根據過A，B兩點，即可得出結果；（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．由相似關系求出點E的坐標；（3）如圖2，連結AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，由BC∥AD設BC的解析式為y=kx+b，設AD的解析式為y=kx+n，由待定系數法求出一次函數的解析式，就可以求出點D坐標，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．