Question

【題目】在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D為射線AB上一點，連接CD，過點C作線段CD的垂線l，在直線l上，分別在點C的兩側(cè)截取與線段CD相等的線段CE和CF，連接AE，BF.

(1)當(dāng)點D在線段AB上時(點D不與點A，B重合)，如圖23(a)．

①請你將圖形補充完整；

②線段BF，AD所在直線的位置關(guān)系為________，線段BF，AD的數(shù)量關(guān)系為________．

(2)當(dāng)點D在線段AB的延長線上時，如圖23(b)．

在(1)中②問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請進行證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②垂直，相等;(2)成立,理由見解析.

【解析】

(1)①如圖所示．

②根據(jù)CD⊥EF,可得∠DCF＝90°.由于∠ACB＝90°,可得∠ACB＝∠DCF,∠ACD＝∠BCF.

根據(jù)AC＝BC,CD＝CF,可判定△ACD≌△BCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,繼而可得∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

(2)根據(jù)CD⊥EF,可得∠DCF＝90°,由于∠ACB＝90°,可證∠DCF＝∠ACB,

所以∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,繼而可得∠BCF＝∠ACD,根據(jù)AC＝BC,CD＝CF,

可判定△ACD≌△BCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,所以∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

解:(1)①如圖所示．

②∵CD⊥EF,

∴∠DCF＝90°.

∵∠ACB＝90°,

∴∠ACB＝∠DCF,

∴∠ACD＝∠BCF.

又∵AC＝BC,CD＝CF,

∴△ACD≌△BCF,

∴AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,

∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

故答案為:垂直,相等.

(2)成立．

證明:∵CD⊥EF,

∴∠DCF＝90°,

∵∠ACB＝90°,

∴∠DCF＝∠ACB,

∴∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,

∴∠BCF＝∠ACD,

又∵AC＝BC,CD＝CF,

∴△ACD≌△BCF,

∴AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,

∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.