Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，直線AB與x軸負半軸交于點A（a，0），與 y軸正半軸交于點B（0，b），且+|b﹣4|=0．

（1）求△AOB的面積；

（2）如圖2，若P為直線AB上一動點，連接OP，且2S△AOP≤S△BOP≤3S△AOP，求P點橫坐標xP的取值范圍；

（3）如圖3，點C在第三象限的直線AB上，連接OC，OE⊥OC于O，連接CE交y 軸于點D，連接AD交OE的延長線于F，則∠OAD、∠ADC、∠CEF、∠AOC之間是否有某種確定的數量關系？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）﹣4.5≤xP≤﹣4或﹣12≤xP≤﹣9；（3）∠CEF+∠ADC﹣∠OAD﹣∠AOC=90°．

【解析】

（1）利用非負數的性質即可解決問題；

（2）過點P作PH⊥y軸于H，∴PH=|xP|．分三種情形討論即可①點P在第一象限時，S△BOP＜S△AOP，結論不成立；②點P在第二象限時，PH=|xP|=-xP，S△BOP=-2xP，S△AOP=12+2xP，列出不等式即可解決問題．③P在第三象限時，列出不等式即可；

（3）如圖，作AM∥OF交CD于M，DN∥OF交OC于N，利用平行線的性質，等式的性質即可解決問題.

（1）∵+|b﹣4|=0，

又∵≥0，|b﹣4|≥0，

∴a=﹣6，b=4，

∴A（﹣6，0），B（0，4）

∴S△AOB=×6×4=12；

（2）如圖，過點P作PH⊥y軸于H，∴PH=|xP|．由圖形可知，

①點P在第一象限時，S△BOP＜S△AOP，結論不成立；

②點P在第二象限時，PH=|xP|=﹣xP，S△BOP=﹣2xP，S△AOP=12+2xP

∴2（12+2xP）≤﹣2xP≤3（12+2xP），

解得﹣4.5≤xP≤﹣4；

③P在第三象限時，2（﹣2xP﹣12）≤﹣2xP≤3（﹣2xP﹣12），

解得﹣12≤xP≤﹣9．

綜上，P點橫坐標xP的取值范圍是﹣4.5≤xP≤﹣4或﹣12≤xP≤﹣9．

（3）如圖，作AM∥OF交CD于M，DN∥OF交OC于N，

∴AM∥OF∥DN，

∴∠AMD=∠CEF，∠ADN=∠DAM，∠AMD+∠ADC+∠ADN=180°①，

∠FOC+∠AOC+∠OAD+∠DAM=180°，

又∵∠FOC=90°，

∴∠OAD+∠AOC+∠DAM=90°②，

由①得∠ADN=180°﹣∠AMD﹣∠ADC；由②得∠DAM=90°﹣∠OAD﹣∠AOC，

又∠ADN=∠DAM，

∴180°﹣∠AMD﹣∠ADC=90°﹣∠OAD﹣∠AOC，

又∵∠AMD=∠CEF，

∴∠CEF+∠ADC﹣∠OAD﹣∠AOC=90°．

（或∠CEF+∠ADC=90°+∠OAD+∠AOC類似結論均可）