Question

【題目】已知矩形0ABC在平面直角坐標系內的位置如圖所示，點0為坐標原點，點A的坐標為(10，0)，點B的坐標為(10，8)，點Q為線段AC上-點，其坐標為(5，n).

(1)求直線AC的表達式

(2)如圖，若點P為坐標軸上-動點，動點P沿折線AO→0C的路徑以每秒1個單位長度的速度運動，到達C處停止求Δ0PQ的面積S與點P的運動時間t(秒)的函數關系式.

(3)若點P為坐標平面內任意-.點，是否存在這樣的點P，使以0，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 當點P在A0上運動時，S=2t+20 ，當點P在0C上運動時，S (10≤t≤18) ；(3)點P的坐標為(5，12)，(5，-4)，(-5，4)

【解析】

（1）由矩形的性質可得出點C的坐標，根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式；
（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點Q的坐標，分點P在OA和點P在OC上兩種情況，利用三角形的面積公式可找出S與t之間的函數關系式；
（3）分OC為對角線、OQ為對角線以及CQ為對角線三種情況，利用平行四邊形的性質（對角線互相平分）即可求出點P的坐標．

解：(1)沒直線AC的解析式為y=kx+b，

由題知C(0，8)，A(10，0)

∴

解之得

∴

(2)∵Q(5，n)在直線上

∴n=4

∴Q(5，4)

當點P在A0上運動時，

=2t+20

當點P在0C上運動時，

(10≤t≤18)

(3) 設點P的坐標為（a，c），分三種情況考慮（如圖2）：

①當OC為對角線時，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴點P1的坐標為（-5，4）；
②當OQ為對角線時，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴點P2的坐標為（5，-4）；
③當CQ為對角線時，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： span>，
∴點P3的坐標為（5，12）．
綜上所述：存在點P，使以O，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（-5，4），（5，-4），（5，12）．

故答案為：(1) ； (2) 當點P在A0上運動時，S=2t+20 ，當點P在0C上運動時，S (10≤t≤18) ；(3)點P的坐標為(5，12)，(5，-4)，(-5，4) ．