Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，現按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，a為半徑（a＞AC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點；

②過M，N兩點作直線MN交AB于點D，交AC于點E；

③將△ADE繞點E順時針旋轉180°，設點D的像為點F．

（1）請在圖中直線標出點F并連接CF；

（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；

（3）當∠B為多少度時，四邊形BCFD是菱形．

Answer 1

【答案】見解析；見解析；60°

【解析】

試題（1）根據題意作出圖形即可；

（2）首先根據作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可；

（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可

試題解析：（1）如圖所示：

（2）∵根據作圖可知：MN垂直平分線段AC，∴D、E為線段AB和AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，

∵將△ADE繞點E順時針旋轉180°，點D的像為點F， ∴EF=ED， ∴DF=BC，

∵DE∥BC， ∴四邊形BCFD是平行四邊形；

（3）當∠B=60°時，四邊形BCFD是菱形； ∵∠B=60°， ∴BC=AB，

∵DB=AB， ∴DB=CB， ∵四邊形BCFD是平行四邊形， ∴四邊形BCFD是菱形．