Question

（2013•衡陽）如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=-1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式、待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）①當四邊形OMPQ為矩形時，滿足條件OM=PQ，據此列一元二次方程求解；
②△AON為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算．

解答：解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+k，
∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴

4a+k=0 a+k=3

，
解得：a=-1，k=4，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）²+4．

（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=

-5± 37

2

，由于t=

-5- 37

2

＜0，故舍去，
∴當t=

37 -5

2

秒時，四邊形OMPQ為矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示：
過點N作ND⊥OA于點D，則D為OA中點，OD=

1

2

OA=

1

2

，
∴t=

1

2

；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
過點N作ND⊥OA于點D，設AD=x，則ND=AD•tanA=3x，OD=OA-AD=1-x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

1

5

，x₂=0（舍去），
∴x=

1

5

，OD=1-x=

4

5

，
∴t=

4

5

；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
過點N作ND⊥OA于點D，設AD=x，則ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

10

10

，x₂=-

10

10

（舍去），
∴OD=1-x=1-

10

10

，
∴t=1-

10

10

．
綜上所述，當t為

1

2

秒、

4

5

秒、（1-

10

10

）秒時，△AON為等腰三角形．

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質、等腰三角形的性質等知識點，綜合性比較強，有一定的難度．第（2）問為運動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點的運動過程，進行分類討論計算．