Question

（2013•衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE²+CF²的值是一個常數；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．

Answer 1

分析：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數；
（2）設AP=x，則PD=4-x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的一元二次函數，求出DM的最大值．

解答：解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數；

（2）設AP=x，則PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴

DM

PD

=

AP

AB

，
即

DM

4-x

=

x

4

，
∴DM=

x(4-x)

4

=x-

1

4

x²，
當x=2時，DM有最大值為1．

點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題．