Question

【題目】如圖，反比例函數(k≠0）與一次函數y=ax+b（a≠0）相交于點A（1，3），B（c，﹣1）．

（1）求反比例函數與一次函數的解析式；

（2）在反比例函數圖象上存在點C，使△AOC為等腰三角形，這樣的點有幾個，請直接寫出一個以AC為底邊的等腰三角形頂點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式為y=；一次函數解析式為y=x+2；（2）C點坐標為（﹣1，﹣3）或（3，1）或（﹣3，﹣1）．

【解析】

（1）把點A（1，3）代入反比例函數的解析式即可求得k值，從而得到反比例函數的解析式；再把B（c，﹣1）代入反比例函數的解析式，求得c值，用待定系數法求一次函數的解析式即可；（2）分①以OA為腰時， AC為底、②以OA為腰時， OC為底、③以OA為底三種情況求點C的坐標即可.

（Ⅰ）∵點A（1，3）在反比例函數圖象上，

∴k=1×3=3，

∴反比例函數解析式為y=；

∵B（c，﹣1）在反比例函數圖象上，

∴c=﹣3，

∴B（﹣3，﹣1），

∵A、B在一次函數圖象上，

∴，解得，

∴一次函數解析式為y=x+2；

（Ⅱ）當OA為腰時，若AC為底，則以O為圓心，OA為半徑畫圓，如圖1，

此時圓與反比例函數圖象有3個交點，即滿足條件的點C有三個；

若OC為底，則以A為圓心，OA長為半徑畫圓，如圖2，

此時圓與反比例函數圖象有兩個交點，即滿足條件的點C有兩個；

當OA為底時，則點C在線段OA的垂直平分線上，如圖3，

此時沒有滿足條件的點C；

綜上可知滿足條件的點C有5個；

可設C點坐標為（t，），

∵A（1，3），

∴OA2=12+32=10，OC2=t2+（）2=t2+，

當△AOC是以AC為底的等腰三角形時，則有OA=OC，即OA2=OC2，

∴10=t2+，解得t=1或t=﹣1或t=3或t=﹣3，

當t=1時，C與A重合，舍去，

∴C點坐標為（﹣1，﹣3）或（3，1）或（﹣3，﹣1）．