Question

【題目】將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如圖所示的四邊形ABCD.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果兩張矩形紙片的長都是8，寬都是2．那么△DCB的面積是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；．

【解析】

試題分析：本題考查了菱形的判定，及運用矩形，菱形的性質進行綜合運算的能力．

（1）由AD∥BC，DC∥AB，可得四邊形ABCD是平行四邊形．然后分別過點A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．又由兩張矩形紙片的寬度相等，即可得AE=DF，又由面積問題，可得BC=AB，即可得四邊形ABCD為菱形； （2）由題意可判斷，當∠DAB=90°時，菱形ABCD為正方形，△DCB的面積最小值為2．當AC為矩形紙片的對角線時，△DCB的面積最大值為．

試題解析：（1）如圖，∵AD∥BC，DC∥AB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

分別過點A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．

∵兩張矩形紙片的寬度相等，

∴AE=DF，

又∵AEBC=DFAB=SABCD，

∴BC=AB，

∴ABCD是菱形；

（2）存在最小值和最大值．

①當∠DAB=90°時，菱形ABCD為正方形，寬最小值為2，△DCB的面積最小值為×2×2=2；

②當AC為矩形紙片的對角線時，設AB=x．如圖，

在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，

即x2=（8-x）2+22，x=．

∴面積最大值為××=．