Question

【題目】如圖，已知拋物線(a為常數(shù)，且a＞0)與x軸從左至右

依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交

點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB, 求△PBD面積的最大值．

(3)設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運(yùn)動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運(yùn)動到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）　　　（2）　　（3）當(dāng)F坐標(biāo)為(－2，)時，用時最少．

【解析】（1）首先求出A、B坐標(biāo)，然后求出直線BD的解析式，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再確定出最大值；

（3）由題意，動點(diǎn)M運(yùn)動的路徑為折線AF+DFA，運(yùn)動時間t=AF +DF. 如圖，輔助線，將AF=DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn).

解：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)，∴，解得，

∴直線BD解析式為：．

當(dāng)x＝－5時，y＝3，∴D(－5，3)．

∵點(diǎn)D(－5，)在拋物線上，

∴，∴．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．

(2)設(shè)P(m, )

∴

∴△BPD面積的最大值為．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時，AF+FH最小，

點(diǎn)M在整個運(yùn)動中用時為：t＝，

∵lBD：，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2，)

∴當(dāng)F坐標(biāo)為(－2，)時，用時最少．

“點(diǎn)睛”此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，函數(shù)極值的求得方法，解（1）關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，解（3）的關(guān)鍵是作出輔助線，是一道難度比較大的中考常考題.