Question

【題目】探究與發現：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品--圓規．我們不妨把這種圖形叫做“規形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？請解決以下問題：

(1)觀察“規形圖”，試探究∠BPC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結論，解決以下問題：

①如圖2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接寫出∠BPC與∠A之間存在的等量關系為： ．

遷移運用：如圖3：在△ABC中，∠A=80°，點O是∠ABC，∠ACB角平分線的交點，點P是∠BOC，∠OCB角平分線的交點，若∠OPC=100°，則∠ACB的度數 ．

②如圖4：若D點是△ABC內任意一點，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接寫出∠BDC、∠BPC、∠A之間存在的等量關系為 ．

Answer 1

【答案】(1)∠BPC=∠A+∠B+∠C，理由見解析；(2)①∠BPC=90°+∠A，60°；②2∠BPC=∠BDC+∠A．

【解析】

（1）首先連接AP并延長至點F，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BPC=∠A+∠B+∠C；

（2）①利用角平分線的定義，三角形的內角和定理證明即可；

遷移運用：設∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解決問題；

②根據角平分線的定義和四邊形的內角和即可得到結論．

(1)如圖，連接AP并延長至點F，

根據外角的性質，可得

∠BPF=∠BAP+∠B，∠CPF=∠C+∠CAP，

又∵∠BPC=∠BPF+∠CPF，∠BAC=∠BAP+∠CAP，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C；

(2)①結論：∠BPC=90°+∠A．

理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A；

遷移運用：設∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，

∵∠P=100°，

∴x+y=80°，

∴2x+2y=160°，

∴∠OBC=180°-160°=20°，

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABC=40°，

∵∠A=80°，

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°；

故答案為：∠BPC=90°+∠A，60°；

②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，

∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，

四邊形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°，

∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠P，

在四邊形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°，

∴∠A+∠D-∠P-∠P=0，

∴2∠BPC=∠BDC+∠A．

故答案為：2∠BPC=∠BDC+∠A．