Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點．過點A做AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形ADCF的面積＝10；（3）當AB=AC時，四邊形ADCF是正方形，理由見解析.

【解析】

（1）根據AAS證△AFE≌△DBE；
（2）利用全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．證出四邊形ADCF是平行四邊形，再由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出四邊形ADCF是菱形；由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論；

（3）當AB=AC時和D是BC的中點可得：AD⊥BC，從而得出結論.

（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，

∴AD＝DC＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

連接DF，如圖所示：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF＝AB＝5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴菱形ADCF的面積＝ACDF＝×4×5＝10．

（3）當AB=AC時，四邊形ADCF是正方形，

理由：∵AB=AC，D是BC的中點，

∴ AD⊥BC，

又∵四邊形ADCF是菱形，

∴菱形ADCF是正方形.