Question

【題目】邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從點C出發，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點P作PF⊥CD于點F，當t為何值時，以點P，F，D為頂點的三角形與△COD相似？
（3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點E作EG⊥x軸于G點．

∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，D是OA的中點，

∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠GDE=90°．

∵∠ODC+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠GDE．

在△OCD和△GED中，

∴△ODC≌△GED （AAS），

∴EG=OD=1，DG=OC=2．

∴點E的坐標為（3，1）．

∵拋物線的對稱軸為直線AB即直線x=2，

∴可設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+k，

將C、E點的坐標代入解析式，得

．

解得，

拋物線的解析式為y=（x﹣2）2+；

（2）

解：①若△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，

∴PD∥OC，

∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，

∴四邊形PDOC是矩形，

∴PC=OD=1，

∴t=1；

②若△PFD∽△COD，則∠DPF=∠DCO，=．

∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．

∴PC=PD，

∴DF=CD．

∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，

∴CD=，

∴DF=．

∵=，

∴PC=PD=×=，

t=，

綜上所述：t=1或t=時，以點P，F，D為頂點的三角形與△COD相似；

（3）

解：存在，

四邊形MDEN是平行四邊形時，M1（2，1），N1（4，2）；

四邊形MNDE是平行四邊形時，M2（2，3），N2（0，2）；

四邊形NDME是平行四邊形時，M3（2，），N3（2，）．

【解析】（1）根據正方形的性質，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根據余角的性質，可得∠OCD=∠GDE，根據全等三角形的判定與性質，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）分類討論：若△DFP∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠PDF=∠DCO，根據平行線的判定與性質，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根據矩形的判定與性質，可得PC的長；若△PFD∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠DPF=∠DCO，=，根據等腰三角形的判定與性質，可得DF于CD的關系，根據相似三角形的相似比，可得PC的長；
（3）分類討論：MDNE，MNDE，NDME，根據一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案．．