Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經過A，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動點P．
①如圖1，當點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標；
②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+4經過A，C兩點，

∴A點坐標是（﹣4，0），點C坐標是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為．

（2）

解：①如圖1

∵，

∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關于直線x=﹣1對稱，

∴P點的橫坐標是﹣3，

∴當x=﹣3時，，

∴P點的坐標是；

②過P點作PF∥OC交AC于點F，如圖2

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴．

又∵，

∴，

設點F（x，x+4），

∴，

化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

當x=﹣1時，；當x=﹣3時，，

即P點坐標是或．

又∵點P在直線y=kx上，

∴或．

【解析】（1）由直線的解析式y=x+4易求點A和點C的坐標，把A和C的坐標分別代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；
（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解；
②過P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出PF的長，進而可設點點F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標，代入直線y=kx即可求出k的值．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和平行四邊形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．