Question

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

Answer 1

解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，∴設y=ax²+2。
∵點C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：。
∴拋物線的解析式為；。
（2）若要四邊形OEAE′是菱形，則只要AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經過AO的中點，∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得：，
解得：。
∵點E在第一象限，∴點E為（，1）。
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。
∴BC的解析式為：。
設直線EO的解析式為y=ax，將E點代入，可得出EO的解析式為：。
由，得：，
∴直線EO和直線BC的交點坐標為：（，）。
∴Q點坐標為：（，0）。
∴當Q點坐標為（，0）時，四邊形OEAE′是菱形。
（3）設t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO。
∴。
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵點D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m。
∴，解得：。
經檢驗：是原分式方程的解。
∴當t=秒時，PB∥OD。

（1）根據頂點式將A，C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數解析式。
（2）利用菱形的判定得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值，進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案。
（3）首先得出△APB∽△QDO，進而得出，求出m的值，進而得出答案。