Question

已知：拋物線C₁：y＝x²。如圖（1），平移拋物線C₁得到拋物線C₂，C₂經過C₁的頂點O和A（2，0），C₂的對稱軸分別交C₁、C₂于點B、D。

（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論；
（3）如圖（2），將拋物線C₂向下平移m個單位（m＞0）得拋物線C₃，C₃的頂點為G，與y軸交于M。點N是M關于x軸的對稱點，點P（）在直線MG上。問：當m為何值時，在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₂經過點O（0，0），∴設拋物線C₂的解析式為。
∵拋物線C₂經過點A（2，0），∴，解得。
∴拋物線C₂的解析式為。
（2）∵，∴拋物線C₂的頂點D的坐標為（1，）。
當x=1時， ，∴點B的坐標為（1，1）。
∴根據勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。∴四邊形ODAB是菱形。
又∵OA=BD=2，∴四邊形ODAB是正方形。
（3）∵拋物線C₃由拋物線C₂向下平移m個單位（m＞0）得到，
∴拋物線C₃的解析式為。
在中令x=0，得，∴M。
∵點N是M關于x軸的對稱點，∴N。∴MN=。
當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：
①若MN是平行四邊形的一條邊，由MN=PQ=和P（）得Q（）。
∵點Q 在拋物線C₃上，∴，解得或（舍去）。
②若MN是平行四邊形的一條對角線，由平行四邊形的中心對稱性，得Q（）。
∵點Q 在拋物線C₃上，∴，解得或（舍去）。
綜上所述，當或時，在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形。

試題分析：（1）根據平移的性質，應用待定系數法即可求得拋物線C₂的解析式。
（2）求出各點坐標，應用勾股定理求出各邊長和對角線長，根據正方形的判定定理可得結論。
（3）分MN為平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論即可。