Question

【題目】如圖所示，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D.

（1）求證：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F ， 求證：∠CEF=∠CFE.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠B；

（2）

在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，

同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE.

又∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAE，

∴∠AED=∠CFE，

又∵∠CEF=∠AED，

∴∠CEF=∠CFE.

【解析】（1）由于∠ACD與∠B都是∠BCD的余角，根據同角的余角相等即可得（2）根據直角三角形兩銳角互余得出∠CFA=90°-∠CAF ， ∠AED=90°-∠DAE ， 再根據角平分線的定義得出∠CAF=∠DAE ， 然后由對頂角相等的性質，等量代換即可證明∠CEF=∠CFE.
【考點精析】掌握解直角三角形是解答本題的根本，需要知道解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．