Question

【題目】如圖，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一點，連接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分線于F．

（1）求證：CF∥AB；

（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）20°．

【解析】

（1）根據等邊對等角得到∠ABC＝∠BAC，由三角形外角的性質得到∠ACE＝∠B+∠BAC＝2∠ABC，由角平分線的定義得到∠ACE＝2∠FCE，等量代換得到∠ABC＝∠FCE，根據平行線的判定定理即可得到結論；

（2）根據角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論．

（1）證明：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC

∵CF是∠ACE的平分線，

∴∠ACE＝2∠FCE

∴2∠ABC＝2∠FCE，

∴∠ABC＝∠FCE，

∴CF∥AB；

（2）∵CF是∠ACE的平分線，

∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADC＝2∠FDC；

∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，

∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC

∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC

∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°

∴∠DFC＝20°．