Question

【題目】如圖，⊙O是以AB為直徑的圓，C為⊙O上一點(diǎn)，AE和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)CA，CB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若⊙O的半徑為5，且tan∠DAC= ，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF為切線，

∴OC⊥EF，

∵AE⊥EF，

∴AE∥OC，

∴∠EAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴AC平分∠DAB；

（2）解：∵∠OAC=∠OCA，

∴tan∠OAC=tan∠DAC= ，

設(shè)BC=x，則AC=2x，

∴AB= x，

∴ x=10，解得x=2 ，

∴BC=2 ．

【解析】（1）利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EF，而AE⊥EF，則可判定AE∥OC，利用平行線的性質(zhì)得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠OAC=∠OCA；（2）利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC= ，設(shè)BC=x，則AC=2x，根據(jù)勾股定理得到AB= x，則 x=10，然后解方程求出x即可得到BC的長(zhǎng)．