Question

【題目】2012義烏市）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1 ．
（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；
（2）如圖2，連接AA1 ， CC1 ． 若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1 ， 求線段EP1長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°

（2）解：∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴ ，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．

∴ ，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=

（3）解：①如圖1，

過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°= ，

當P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7

【解析】（1）由由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1 ， 又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數；（2）由△ABC≌△A1BC1 ， 易證得△ABA1∽△CBC1 ， 然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積；（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．