Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點A(﹣3，0)，B(0，3)．

（1）如圖1，已知⊙P經過點O，且與直線l1相切于點B，求⊙P的直徑長；

（2）如圖2，已知直線l2：y=3x﹣3分別交x軸和y軸于點C和點D，點Q是直線l2上的一個動點，以Q為圓心，2為半徑畫圓．

①當點Q與點C重合時，求證：直線l1與⊙Q相切；

②設⊙Q與直線l1相交于M，N兩點，連結QM，QN．問：是否存在這樣的點Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①見解析，②存在，Q1（3–，6–3）和Q2（3+，6+3）

【解析】

（1）證明△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長=BC=AB，即可求解；
（2）過點C作CE⊥AB于點E，證明CE=ACsin45°=4×=2=圓的半徑，即可求解；
（3）分點M、N在兩條直線交點的下方、點M、N在兩條直線交點的上方兩種情況，分別求解即可．

證明：（1）如圖1，連接BC，

∵∠BOC=90°，∴點P在BC上，

∵⊙P與直線l1相切于點B，

∴∠ABC=90°，而OA=OB，

∴△ABC為等腰直角三角形，

則⊙P的直徑長=BC=AB=3；

（2）①過點C作CE⊥AB于點E，如圖2.

將y=0代入y=3x–3，得x=1，

∴點C的坐標為（1，0）.∴AC=4，

∵∠CAE=45°，∴CE=AC=2，

∵點Q與點C重合，又⊙Q的半徑為2，

直線l1與⊙Q相切.

②假設存在這樣的點Q，使得△QMN是等腰直角三角形，

∵直線l1經過點A（–3，0），B（0，3），

∴l1的函數解析式為y=x+3．

記直線l2與l1的交點為F，

情況一：

當點Q在線段CF上時，由題意，得∠MNQ=45°，

延長NQ交x軸于點G，如圖3，

∵∠BAO=45°，

∴∠NGA=180°–45°–45°=90°，

即NG⊥x軸，∴點Q與N有相同的橫坐標，

設Q（m，3m–3），則N（m，m+3），

∴QN=m+3–（3m–3），

∵⊙Q的半徑為2，

∴m+3–（3m–3）=2，解得m=3–，

3m–3=6–3，

∴Q的坐標為（3–，6–3）.

情況二：

當點Q在線段CF的延長線上時，如圖4，

同理可得m=3+，

Q的坐標為（3+，6+3）.

∴存在這樣的點Q1(3–，6–3)和Q2(3+，6+3)，使得△QMN是等腰直角三角形．