Question

【題目】已知函數f（x）= ，關于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有兩個整數解，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（﹣ln2，﹣ ]
【解析】解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），則f′（x）= ． 當f′（x）＞0得1﹣ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，即0＜2x＜e，即0＜x＜ ，
由f′（x）＜0得1﹣ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，即2x＞e，即x＞ ，
即當x= 時，函數f（x）取得極大值，同時也是最大值f（ ）= ，
即當0＜x＜ 時，f（x）＜ 有一個整數解1，
當x＞ 時，0＜f（x）＜ 有無數個整數解，①若a=0，則f2（x）+af（x）＞0得f2（x）＞0，此時有無數個整數解，不滿足條件．②若a＞0，則由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，當f（x）＞0時，
不等式由無數個整數解，不滿足條件．③當a＜0時，由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞﹣a或f（x）＜0，當f（x）＜0時，沒有整數解，
∵f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）= ，
∴當f（x）≥ln2時，函數有兩個整數點1，2，當f（x）≥ 時，函數有3個整數點1，2，3
∴要使f（x）＞﹣a有兩個整數解，必有 ≤﹣a＜ln2，即﹣ln2＜a≤﹣ ln6，
所以答案是（﹣ln2，﹣ ]

【考點精析】關于本題考查的函數單調性的性質，需要了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．