Question

【題目】如圖，拋物線的頂點坐標為，圖象與軸交于點，與軸交于、兩點．

求拋物線的解析式；

設拋物線對稱軸與直線交于點，連接、，求的面積；

點為直線上的任意一點，過點作軸的垂線與拋物線交于點，問是否存在點使為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)2;(3)見解析.

【解析】

（1）可設拋物線解析式為頂點式，把C點坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標，利用待定系數法可求得直線BC解析式，利用對稱軸可求得D點坐標，則可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD為直角三角形，則可求得其面積；
（3）根據題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，當∠DFE=90°時，可知DF∥x軸，則可求得E點縱坐標，代入拋物線解析式可求得E點坐標；當∠EDF=90°時，可求得直線AD解析式，聯立直線AC和拋物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線BC可求得點E的坐標．

解：∵拋物線的頂點坐標為，
∴可設拋物線解析式為，
把代入可得，解得，
∴拋物線解析式為；

在中，令可得，解得或，
∴，，
設直線解析式為，把代入得：，解得，
∴直線解析式為，
由可知拋物線的對稱軸為，此時，
∴，
∴，，，
∵，
∴是以為斜邊的直角三角形，
∴；

由題意知軸，則，
∴為直角三角形，分和兩種情況，
①當時，即軸，則、的縱坐標相同，
∴點縱坐標為，
∵點在拋物線上，
∴，解得，即點的橫坐標為，
∵點在直線上，
∴當時，，當時，，
∴點坐標為或；
②當時，
∵，，
∴直線解析式為，
∵直線解析式為，
∴，
∴直線與拋物線的交點即為點，
聯立直線與拋物線解析式有，解得或，
當時，，當時，，
∴點坐標為或，
綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或或．