Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向A以1cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)那么:

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？

(2)對(duì)四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】(1) t=2秒；(2)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變(或P、Q兩點(diǎn)到對(duì)角線AC的距離之和保持不變)；(3)①t=1.2，②t=3.

【解析】

(1)分別用t表示出QA和AP，則按QA=AP求解即可；

(2)觀察圖形可得S△QPC=S△QAC+S△APC，然后用含t的表達(dá)式分別求解S△QAC和S△APC，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果即可發(fā)現(xiàn)相關(guān)結(jié)論；

(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC兩種情況進(jìn)行討論即可.

(1)對(duì)于任何時(shí)刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

當(dāng)QA=AP時(shí)，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，

在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變(或P、Q兩點(diǎn)到對(duì)角線AC的

距離之和保持不變)

(3)分兩種情況:

①當(dāng)時(shí)△QAP∽△ABC，則，從而t=1.2s，

②當(dāng)時(shí)△PAQ∽△ABC，則，從而t=3s.