Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD并于點O，經過點O的直線交AB于E，交CD于F．

（1）求證：OE=OF．
（2）連接DE，BF，則EF與BD滿足什么條件時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平行四邊形ABCD，

∴OD=OB，DC∥AB，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB，

在△DOF和△BOE中，

，

∴△DOF≌△BOE（AAS），

∴OE=OF；

（2）若EF=BD時，四邊形DEBF為矩形，理由為：

∵△DOF≌△BOE，

∴DF=BE，

∵DF∥BE，

∴四邊形DEBF為平行四邊形，

∵EF=BD，

∴四邊形DEBF為矩形．

【解析】(1)由平行四邊形的對邊平行且相等，得到DC與AB平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，再由對角線互相平分得到OD=OB，利用AAS得到三角形DOF與三角形BOE全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；(2)EF與BD相等時，四邊形DEBF是矩形，理由為：由DF與BE平行且相等得到四邊形DEBF為平行四邊形，利用對角線互相平分的平行四邊形是矩形即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對矩形的判定方法的理解，了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．