Question

【題目】如圖，已知平面直角坐標系內，A（﹣1，0），B（3，0），點D是線段AB上任意一點（點D不與A，B重合），過點D作AB的垂線l．點C是l上一點，且∠ACB是銳角，連結AC，BC，作AE⊥BC于點E，交CD于點H，連結BH，設△ABC面積為S1 ， △ABH面積為S2 ， 則S1S2的最大值是 ．

Answer 1

【答案】16
【解析】解：設AD=x，BD=4﹣x，
∵∠HAD=∠EAB，∠ADH=∠AEB=90°，
∴△ADH∽△AEB，
∴ = ，
∴AEDH=ADEB，
∵∠ABE=∠DBC，∠CDB=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△CDB，
∴ = ，
∴EBBC=ABDB，
∵S1S2= AEBC DHAB
=（AEDH）BC
=（ADEB）BC
=AD（EBBC）
=AD（ABBD）
=4x（4﹣x）
=﹣4（x﹣2）2+16，
∵a=﹣4＜0，
∴x=2時，S1S2有最大值，最大值為16，
所以答案是16．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．