Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數是 ．
（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在點P，使由P，B，C構成的△PBC的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）50°
（2）解：猜想的結論為：∠NMA=2∠B﹣90°．

理由：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠A=180°﹣2∠B，

又∵MN垂直平分AB，

∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．

如圖：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周長是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm．

②當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【解析】解：（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數是 50°，
所以答案是：50°；
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．