Question

【題目】如圖①，已知直線y=﹣x+3分別交x軸，y軸于點A，點B．點P是射線AO上的一個動點．把線段PO繞點P逆時針旋轉90°得到的對應線段為PO′，再延長PO′到C使CO′=PO′，連結AC，設點P坐標為（m，0），△APC的面積為S．

（1）直接寫出OA和OB的長，OA的長是 ，OB的長是 ；

（2）當點P在線段OA上（不含端點）時，求S關于m的函數表達式；

（3）當以A，P，C為頂點的三角形和△AOB相似時，求出所有滿足條件的m的值；

（4）如圖②，當點P關于OC的對稱點P′落在直線AB上時，m的值是 ．

Answer 1

【答案】（1）6，3；（2）S=（6﹣m）2m=﹣m2+6m（0＜m＜6）；（3）m=3，m=1.2，m=﹣2；（4）﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B點坐標，可得OA，OB的長；

（2）根據旋轉的性質，可得PO′，根據線段中點的性質，可得PC的長，根據三角形的面積公式，可得答案；

（3）根據相似三角形的性質，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案；

（4）根據待定系數法，可得OC的解析式，PP′的解析式，根據解方程組，可得D點坐標，根據中點的坐標公式，可得P′點坐標，根據圖象上的點滿足函數解析式，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

解：（1）由直線y=﹣x+3可知A（6，0），B（0，3），

∴OA=6，OB=3，

故答案為：6，3；

（2）∵點P坐標為（m，0），

∴OP=m．

∵線段PO繞點P逆時針旋轉90°，得

對應線段為PO′=m．

再延長PO′到C使CO′=PO′，

∴PC=2m．

∵PA=6﹣m，

∴S=（6﹣m）2m=﹣m2+6m（0＜m＜6）；

（3）當0≤m＜6時，

∵以A，P，C為頂點的三角形和△AOB相似，

∴=，解得m=3，

或=，解得m=1.2；

當m＜0時，

∵以A，P，C為頂點的三角形和△AOB相似，

∴=，m的值不存在，

或=，解得m=﹣2，

綜上所述：m=3，m=1.2，m=﹣2；

（4）如圖1：

，

P（m，0），C（m，﹣2m）

OC的解析式為y=﹣2x，

PP′的解析式為y=x﹣m，

聯立OC與PP′，得，

解得，

D（，﹣m），

P′橫坐標2×﹣m=﹣m，縱坐標2×（﹣m）﹣0=﹣m，

P′（﹣m，﹣m）．

將P′點的坐標代入AB，得

﹣m=﹣×（﹣m）+3，

解得m=﹣，

故答案為：﹣．