Question

【題目】如圖、矩形ABCD中，AB=8，AD=6．點M是對角線AC上的一個動點，以M點為圓心，線段AM長為半徑畫一個⊙M，若⊙M在以C為端點的矩形ABCD邊上截得的線段EF=AM，則線段AM的長是 ．

Answer 1

【答案】或5．

【解析】

試題分析：作MN⊥EF于N，連接MF，由垂徑定理得出EN=FN=EF，設AM=5x，則MF=5x，EF=6x，得出FN=3x，由勾股定理得出MN=4x，由矩形的性質和勾股定理求出AC，由平行線的性質得出比例式求出MN=（10﹣5x），得出方程（10﹣5x）=4x，解方程求出x，得出AM；當M為AC的中點時，AM=MC，得出方程，解方程求出x，得出AM即可．

解：作MN⊥EF于N，連接MF，如圖所示：

則EN=FN=EF，∠MNF=90°，

∵EF=AM，

∴設AM=5x，則MF=5x，EF=6x，

∴FN=3x，

由勾股定理得：MN==4x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠D=∠B=90°=∠MNF，

∴AC==10，MN∥AD，

∴，

即，

解得：MN=（10﹣5x），

∴（10﹣5x）=4x，

解得：x=，

∴AM=；

當M為AC的中點時，AM=MC，

即5x=10﹣5x，

解得：x=1，

∴AM=5；

綜上所述：線段AM的長是或5．

故答案為：或5．