Question

我們知道三角形的一條中線能將這個三角形分成面積相等的兩個三角形，反之，若經過三角形的一個頂點引一條直線將這個三角形分成面積相等兩個三角形，那么這條直線平分三角形的這個頂點的對邊．如圖1，若S_△ABD=S_△ADC，則BD=CD成立．
請你直接應用上述結論解決以下問題：

（1）已知：如圖2，AD是△ABC的中線，沿AD翻折△ADC，使點C落在點E，DE交AB于F，若△ADE與△ADB重疊部分面積等于△ABC面積的

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4

，問線段AE與線段BD有什么關系？在圖中按要求畫出圖形，并說明理由．
（2）已知：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，點D是AB邊的中點，點P是BC邊上的任意一點，連接PD，沿PD翻折△ADP，使點A落在E，若△PDE與△PDB重疊部分的面積等于△ABP面積的

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4

，直接寫出BP²的值．

Answer 1

（1）如圖2，線段AE與BD平行且相等．理由如下：
∵AD是△ABC的中線，
∴S_△ABD=S_△ADC=

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2

S_△ABC．
∵S_△ADF=

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S_△ABC，
∴S_△ADF=S_△BDF=

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2

S_△ABD，
∴AF=BF．
同理，DF=EF．
在△AFE與△BFD中，

BF=DF ∠EFA=∠DFB AF=BF

，
∴△AFE≌△BFD（SAS），
∴AE=BD，∠EAF=∠DBF，
∴AE∥BD．
∴線段AE與BD平行且相等；

（2）BP²=4或12．