Question

【題目】乘法公式的探究及應用．

數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．

(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．方法1：______；方法2：_______．

(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式：(a+b)2，a2+b2，ab之間的等量關系．_______；

(3)類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個使長方形面積為：3a2+7ab+2b2，并對3a2+7ab+2b2因式分解為_______.

(4)根據(2)題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；

②已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2＝34，求(x﹣2017)2的值．

Answer 1

【答案】(1)(a+b)2；a2+b2+2ab；(2)(a+b)2＝a2+2ab+b2；(3)3a2+7ab+2b2=(a+2b)(3a+b)；(4)①ab＝7；②(x﹣2017)2＝16．

【解析】

（1）直接利用大正方形的邊長×邊長；將所有的小正方形與矩形的面積相加；

（2）根據（1）與大正方形的面積不變即可得解；

（3）根據題意畫出圖形，再利用面積相等的列出等式即可；

（4）①根據題意將a+b平方，利用完全平方公式變形求解即可；

②利用完全平方公式去括號將原式變為2（x2﹣2×2017x+20172）+20182+20162﹣2×20172=34，再利用平方差公式變形求解即可.

解：（1）大正方形的邊長為a+b，則其面積為(a+b)2；

兩個小正方形的面積為a2，b2，長方形的面積為2ab，則其面積為a2+b2+2ab；

（2）根據大正方形的面積相等得：(a+b)2＝a2+2ab+b2；

（3）如圖，可得3a2+7ab+2b2=(a+2b)(3a+b)；

（4）①（a+b）2= a2+2ab+b2=25，

∵a2+b2＝11，

∴2ab=14，

解得ab=7；

②∵(x﹣2016)2+(x﹣2018)2＝34，

∴x2﹣2×2016x+20162+x2﹣2×2018x+20182=34，

∴2（x2﹣2×2017x+20172）+20182+20162﹣2×20172=34，

∴2(x﹣2017)2+2018+2017﹣2016﹣2017=34，

則(x﹣2017)2=16.