Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC的中點，OE交CD于點F．

（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的長；
（2）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）求證：2CE2=ABEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，

∴BD=BCsin36°=10sin36°≈5.9．

（2）解：連接OD．

∵AE=EC，OB=OC，

∴OE∥AB，

∵CD⊥AB，

∴OE⊥CD，

∵OD=OC，

∴∠DOE=∠COE，

在△EOD和△EOC中，

，

∴△EOD≌△EOC，

∴∠EDO=∠ECO=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（3）解：∵OE⊥CD，

∴DF=CF，∵AE=EC，

∴AD=2EF，

∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC2=ADAB，

∵AC=2CE，

∴4CE2=2EFAB，

∴2CE2=EFAB．

【解析】（1）在直角三角形中，由斜邊求對邊，用正弦；（2）要證DE是切線，連結OE，證∠EDO是直角，可證△EOD≌△EOC，得出∠EDO=∠ECO=90°；（3）要證2CE2=ABEF，可從入手，CE2=,所以2CE2=2
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．