Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于點D，點P從點A出發，沿A→C方向以 cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點M，C位于PQ異側）．設點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm2）

（1）當點M落在AB上時，x=；
（2）當點M落在AD上時，x=；
（3）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）
（3）

解：①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP= x，

∴EF=PE=x，

∴y=S△PEF= PEEF= x2．

②當4＜x≤ 時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=8 ﹣ x，

∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，

∴y=S△PMQ﹣S△MEG= （8 ﹣ x）2﹣ （16﹣3x）2=﹣ x2+32x﹣64．

③當 ＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，

∴y=S△PMQ= PQ2= （8 ﹣ x）2=x2﹣16x+64．

綜上所述y=

【解析】解：（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP=4 ，所以x= =4．
所以答案是4．（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E．
br />∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴ = = ，∵AC=8 ，
∴PA= ，
∴x= ÷ = ．
所以答案是 ．