Question

【題目】平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是為（0,3）、（-1,0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′.

（1）若拋物線過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△OC′D的周長；
（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：點M在何處時；△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點M的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵□A′B′OC′由□ABOC旋轉得到，且點A的坐標為（0,3）,

點A′的坐標為（3,0）.

∴拋物線過點C（-1,0），A（0,3），A′（3,0），

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，可得

解得

∴過點C，A，A′的拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）

解：∵AB//CO，∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB= ，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，

∠C′OD=∠BOA，∴△C′OD~△BOA，

又OC′=OC=1,

∴ ，

又△ABO的周長為4+ ，

∴△C′OD的周長為 .

（3）

解：連接OM，設M點的坐標為（m，n），

∵點M在拋物線上，

∴n=-m2+2m+3，

∴ ，

= OA·m+ OA′·n- OA·OA′

= （m+n）-

= (m+n-3)

= (m2-3m)= （m ）2+ .

∵0<m<3，∴當m= 時，n= ，△AMA′的面積有最大值，

∴當點M的坐標為（ ， ）時，△AMA′的面積有最大值，且最大值為 .

【解析】（1）需要求A′的坐標，由A（0,3）繞點O順時針旋轉90°，則A′在x軸上且OA′=OA=3，則A′(3,0)；運用待定系數法求拋物線的解析式；（2）根據勾股定理易求得OB的長；由角OC′D=角OCA=角B，角C′OD=角BOA，則△C′OD~△BOA，根據相似三角形的周長比等于相似比，可先求得相似比和△BOA的周長，則可求出△OC′D的周長；（3）可設M（m，n）代入拋物線可得n與m的關系式，而 ，由面積= 底乘高，將上式進行化簡，可得 與m的關系式，由0<m<3，討論m取何值時 最大.