Question

【題目】如圖1，在 中，以 為直徑的⊙O，交 于點 ，且 ，交線段 的延長線于點 ，連接 ，過點 作 于點 ．

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）在 的內部作 ，使 ， 分別交于 、 于點 、 ，交⊙O于點 ，若 ，求 的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：過點C作CH⊥BA 交BA的延長線于H，

∵ ， ，
∴DF為BHC的中位線，CH=2DF，
連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵BD=CD，
∴ABC是等腰三角形∴AB=AC，
∵∠AEB =90°=∠AHC ，∠BAE =∠CAH
∴AEB≌AHC
∴CH=BE ，
（Ⅱ）解：連接DA、DO、DE、BM，
∴∠ADE=∠ABE=∠BDM
∵ , BN= ,
∴由(Ⅰ)可知, BE=2DF= ,
∵⊿CEB為直角三角形, BD=CD,
∴DE=DB , 又∠ADE=∠BDN ∠AED=∠DBN
∴ADE≌NDB
∴AD=DN BN=AE=
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠AEB =90° BE=2DF= , AE= . AB=3
∵ AD=DN ∴ FN=AF= . DF= ∴DN=3
在ADN與BMN中,可證ADN∽MBN,得出ANNB=MNDN
∴MN=2
在DBG與DMB中,
∵DC=DE=DB
∴∠DMB=∠DBE=∠DEB, ∠BDG=∠BDM,
可證DBG∽DMB,
得出DB2=DG×DM ,FB=2
∴DB=6, DM=DN+MN=3 +2 =5
∴36=DG×5 ， DG= ，
∴ MG= .
【解析】本題考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，注意分析題目中條件，找足AEB和AHC全等、ADE和NDB全等，和ADN∽MBN、DBG∽DMB的條件，推導求解.
【考點精析】掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．