Question

【題目】（1）請你根據下面畫圖要求，在圖①中完成畫圖操作并填空．

如圖①，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠PAM=∠A．

操作：（1）延長BC．

（2）將∠PAM繞點A逆時針方向旋轉60°后，射線AM交BC的延長線于點D．

（3）過點D作DQ∥AB．

（4）∠PAM旋轉后，射線AP交DQ于點G．

（5）連結BG．

結論：= ．

（2）如圖②，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=36°，進行如下操作：將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉α度角，并使各邊長變為原來的n倍（n＞1），得到△AB′C′．當點B、C、B′在同一條直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形時（如圖③），求a和n的值．

Answer 1

【答案】(1);(2)72°;2.62.

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉得出△ABC～△AGD，設AB為2，根據30°的直角三角形的性質得出AD=2，進一步得出AG=4，可得；

（2）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得a=36°，又由△ABC∽△AB′C′，根據相似三角形的對應邊成比例，繼而求得答案．

試題解析：（1）如圖：

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴∠PAM=∠A=30°，

∵∠PAM繞點A逆時針方向旋轉60°，

∴∠BAG=60°，△ABC～△AGD，

∴∠GAD=∠BAC=∠MAG=30°，

∴△BAD是Rt△，∠ABD=60°，

∴∠ADB=30°，

設AB為2，則可得AD=，

∵DQ∥AB，∠BAD=90°

∴∠ADG=90°，

∵∠GAD=30°，AD=，

∴AG=4，

∴；

（2）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，

∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，AB=AC

∴∠ABC=72°．

∴∠B′AC′=∠BAC=36°，

∴∠CAB′=36°，

∴α=180°-72°-36°=72°；

∴∠B′AC′=∠BAC=36°，而∠B=∠AB′C′，

∴△ABC∽△AB′C′，

∴AB：BB′=CB：AB，

∴AB2=CBAB′，

而 AB=1，

BC=2ABsin18°≈0.618，

所以可得n=．