Question

【題目】如圖，矩形的對角線相交于點，，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，菱形的面積為，求的長．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）首先根據兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據矩形的性質可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結論；
（2）因為∠BAC=60°，可得∠ACB=30°可證明菱形的一條對角線和邊長相等，可證明和對角線構成等邊三角形，然后過點D作DF⊥AC于F，根據菱形的面積求出OC，再利用勾股定理求出BC．

解：（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD，
∴四邊形OCED是菱形；
（2）∵∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
又∵菱形OCED的面積═△OCD的面積的2倍=18，

過點D作DF⊥AC于F，

可得2CF=OC=CD，

∴DF=CD=OC，
∴即18=OC×DF=OC×OC=OC2，
∴OC2=36，
∴OC=6=CD，
∴BD=2CD=2OC=12，

∴BC==.