Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點分別為A（﹣6，0）和點B（4，0），與y軸的交點為C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是線段OA上一動點（不與點A重合），過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上．

①是否同時存在點D和點P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求點D的坐標，若不存在，請說明理由；

②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①點D坐標為（﹣，0）；②點M（，0）.

【解析】

（1）應用待定系數法問題可解；

（2）①通過分類討論研究△APQ和△CDO全等

②由已知求點D坐標，證明DN∥BC，從而得到DN為中線，問題可解．

（1）將點（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

∴拋物線解析式為：y=-x2-x+3；

（2）①存在點D，使得△APQ和△CDO全等，

當D在線段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3時，△APQ和△CDO全等，

∴tan∠QAP=tan∠DCO，

，

∴，

∴OD=，

∴點D坐標為（-，0）.

由對稱性，當點D坐標為（，0）時，

由點B坐標為（4，0），

此時點D（，0）在線段OB上滿足條件．

②∵OC=3，OB=4，

∴BC=5，

∵∠DCB=∠CDB，

∴BD=BC=5，

∴OD=BD-OB=1，

則點D坐標為（-1，0）且AD=BD=5，

連DN，CM，

則DN=DM，∠NDC=∠MDC，

∴∠NDC=∠DCB，

∴DN∥BC，

∴，

則點N為AC中點．

∴DN時△ABC的中位線，

∵DN=DM=BC=，

∴OM=DM-OD=

∴點M（，0）