Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點B與原點O重合，點C在x軸上，點C坐標為（6，0），等邊三角形ABC的三邊上有三個動點D、E、F（不考慮與A、B、C重合），點D從A向B運動，點E從B向C運動，點F從C向A運動，三點同時運動，到終點結束，且速度均為1cm/s，設運動的時間為ts，解答下列問題：

（1）求證：如圖①，不論t如何變化，△DEF始終為等邊三角形．

（2）如圖②過點E作EQ∥AB，交AC于點Q，設△AEQ的面積為S，求S與t的函數關系式及t為何值時△AEQ的面積最大？求出這個最大值．

（3）在（2）的條件下，當△AEQ的面積最大時，平面內是否存在一點P，使A、D、Q、P構成的四邊形是菱形，若存在請直接寫出P坐標，若不存在請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當t=3時，△AEQ的面積最大為cm2；（3）（3，0）或（6，3）或（0，3）

【解析】

（1）由三角形ABC為等邊三角形，以及AD=BE=CF，進而得出三角形ADF與三角形CFE與三角形BED全等，利用全等三角形對應邊相等得到BF=DF=DE，即可得證；（2）先表示出三角形AEC面積，根據EQ與AB平行，得到三角形CEQ與三角形ABC相似，利用相似三角形面積比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面積，進而表示出AEQ面積，利用二次函數的性質求出面積最大值，并求出此時Q的坐標即可；（3）當△AEQ的面積最大時，D、E、F都是中點，分兩種情形討論即 可解決問題；

（1）如圖①中，

∵C（6，0），

∴BC=6

在等邊三角形ABC中，AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，

由題意知，當0＜t＜6時，AD=BE=CF=t，

∴BD=CE=AF=6﹣t，

∴△ADF≌△CFE≌△BED（SAS），

∴EF=DF=DE，

∴△DEF是等邊三角形，

∴不論t如何變化，△DEF始終為等邊三角形；

（2）如圖②中，作AH⊥BC于H，則AH=ABsin60°=3，

∴S△AEC=×3×（6﹣t）=，

∵EQ∥AB，

∴△CEQ∽△ABC，

∴=（）2=，即S△CEQ=S△ABC=×9=，

∴S△AEQ=S△AEC﹣S△CEQ=﹣=﹣（t﹣3）2+，

∵a=﹣＜0，

∴拋物線開口向下，有最大值，

∴當t=3時，△AEQ的面積最大為cm2，

（3）如圖③中，由（2）知，E點為BC的中點，線段EQ為△ABC的中位線，

當AD為菱形的邊時，可得P1（3，0），P3（6，3），

當AD為對角線時，P2（0，3），

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（3，0）或（6，3）或（0，3）．