Question

【題目】如圖，在邊長為 4 的等邊△ABC 中，點 D 從點A 開始在射線 AB 上運動，速度為 1 個單位/秒，點F 同時從 C 出發，以相同的速度沿射線 BC 方向運動，過點D 作 DE⊥AC，連結 DF 交射線 AC 于點 G

(1)當 DF⊥AB 時，求 t 的值；

(2)當點 D 在線段 AB 上運動時，是否始終有 DG=GF?若成立，請說明理由。

(3)聰明的斯揚同學通過測量發現，當點 D 在線段 AB 上時，EG 的長始終等于 AC 的一半，他想當點D 運動到圖 2 的情況時，EG 的長是否發生變化?若改變，說明理由；若不變，求出 EG 的長。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見詳解；（3）不變.

【解析】

（1）設AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當DF⊥AB時，通過解直角△BDF求得x的值，易得t的值；
（2）如圖1，過點D作DH∥BC交AC于點H，構建全等三角形：△DHG≌△FCG，結合全等三角形的對應邊相等的性質和圖中相關線段間的和差關系求得DG=GF；
（3）過F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．

解：（1）設AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．
當DF⊥AB時，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=，
故t=；

（2）如圖1，過點D作DH∥BC交AC于點H，則∠DHG=∠FCG．

∵△ABC是等邊三角形，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG與△FCG中，

，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；

（3）如圖2，過F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，

，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，

∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=EH=AC．