Question

【題目】已知E，F分別是AB、CD上的動點，P也為一動點．

（1）如圖1，若AB∥CD，求證：∠P＝∠BEP＋∠PFD；

（2）如圖2，若∠P＝∠PFD－∠BEP，求證：AB∥CD；

（3）如圖3，AB∥CD，移動E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）過P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；

（2）先根據三角形外角的性質得出∠P=∠BGP-∠BEP，再由∠P=∠PGB-∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出結論；

（3）由（1）中的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設設∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，根據∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解：（1）過P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，

∵∠EPF=∠1+∠2，

∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∵∠BGP是△PEG的外角，

∴∠P=∠BGP-∠BEP．

∵∠P=∠PGB-∠BEP，

∴∠PFD=∠PGB，

∴AB∥CD；

（3）由（1）的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，

設∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，

∵∠PEG=∠BEP=90°-x，

∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，則.