Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關于直線AC對稱的三角形．

問題探究

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．

問題解決

（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，經研究，只有當點E、F、G分別在邊AD．AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）存在，最小值為；（3）能，．

【解析】

試題分析：（1）作B關于AC 的對稱點D，連接AD，CD，△ACD即為所求；

（2）作E關于CD的對稱點E′，作F關于BC的對稱點F′，連接E′F′，得到此時四邊形EFGH的周長最小，根據軸對稱的性質得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=即可得到結論；

（3）根據余角的性質得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根據全等三角形的性質得到AF=BG，AE=BF，設AF=x，則AE=BF=3﹣x根據勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG關于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG=45°的點在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據矩形的面積公式即可得到結論．

試題解析：（1）如圖1，△ADC即為所求；

（2）存在，理由：作E關于CD的對稱點E′，作F關于BC的對稱點F′，連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，則F′G=FG，E′H=EH，則此時四邊形EFGH的周長最小，由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=，∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=，∴在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小，最小值為；

（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF與△BGF中，∵∠1=∠2，∠A=∠B，EF=FG，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，設AF=x，則AE=BF=3﹣x，∴，解得：x=1，x=2（不合題意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，連接EG，作△EFG關于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG=45°的點在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，此時，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，∴C在線段EG的垂直平分線設，∴點F，O，H′，C在一條直線上，∵EG=，∴OF=EG=，∵CF=，∴OC=，∵OH′=OE=FG=，∴OH′＜OC，∴點H′在矩形ABCD的內部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，這個部件的面積=EGFH′==，∴當所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（）m2．