Question

【題目】閱讀下面材料：

在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？

小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC．

結合小敏的思路作答

（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：

（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．

①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；

②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）是平行四邊形；（2）①AC=BD；②AC⊥BD．

【解析】

試題分析：（1）如圖2，連接AC，根據三角形中位線的性質得到EF∥AC，EF=AC，然后根據平行四邊形判定定理即可得到結論；

（2）①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，于是得到當AC=BD時，FG=HG，即可得到結論；

②根據平行線的性質得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據矩形的判定定理即可得到結論．

試題解析：（1）是平行四邊形．證明如下：

如圖2，連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，綜上可得：EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①AC=BD．

理由如下：

由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，∴當AC=BD時，FG=HG，∴平行四邊形EFGH是菱形；

②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；理由如下：

同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四邊形EFGH為矩形．