Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=2，OC=1，矩形對角線AC、OB相交于E，過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H．
（1）直接寫出點E的坐標： ．
（2）求證：AG=CH．
（3）如圖2，以O為圓心，OC為半徑的圓弧交OA與D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內一點F，求直線GH的函數關系式．
（4）在（3）的結論下，梯形ABHG的內部有一點P，當⊙P與HG、GA、AB都相切時，求⊙P的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）（1， ）
（2）解：證明：∵矩形OABC，

∴CE=AE，BC∥OA，

∴∠HCE=∠EAG，

∵在△CHE和△AGE中

，

∴△CHE≌△AGE，

∴AG=CH

（3）解：解：如圖2，連接DE并延長DE交CB于M，連接AC，

∵DO=OC=1= OA，

∴D是OA的中點，

∵BC∥OA，

∴∠MCE=∠DAE，

∵在△CME和△ADE中

，

∴△CME≌△ADE，

∴CM=AD=2﹣1=1，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠MCO=∠COD=90°，CB∥OA，

∵OD=1，OA=2，

∴OD=AD，

∵矩形OABC的對角線交于E，

∴E為中心，

∴DE∥OC，

∴四邊形CMDO是矩形，

∴MD⊥OD，MD⊥CB，

∴MD切⊙O于D，

∵HG切⊙O于F，E（1， ），

∴可設CH=HF=x，FE=ED= MD，

在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，

即（1﹣x）2+（ ）2=（ +x）2，

解得x= ，

∴H（ ，1），OG=2﹣ = ，

∴G（ ，0），

設直線GH的解析式是：y=kx+b，

把G、H的坐標代入得： k+b=0，且1= k+b，

解得：k=﹣ ，b= ，

∴直線GH的函數關系式為y=﹣ x+

（4）解：解：如備用圖3，連接BG，過P做PN⊥GA，垂足為N，

∵在△OCH和△BAG中

，

∴△OCH≌△BAG，

∴∠CHO=∠AGB，

∵∠HCO=90°，

∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，

∴OH平分∠CHF，

∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，

∵四邊形OCBA是矩形，

∴BC∥OA，BC=OA，

∵CH=AG（已證），

∴BH=OG，BH∥OG，

∴四邊形BHOG是平行四邊形，

∴OH∥BG，

∴∠OHE=∠BGE，

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA

∴∠BGA=∠BGE，

即BG平分∠FGA，

∵⊙P與HG、GA、AB都相切，

∴和∠HGA的兩邊都相切的圓的圓心在∠HGA的角平分線上，即在GB上

∴圓心P必在BG上，

∴△GPN∽△GBA，

∴ ，

設半徑為r，

= ，

解得：r= ．

答：⊙P的半徑是

【解析】（1）解：E的坐標是：（1， ）， 所以答案是：（1， ）；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．