Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知，兩點的坐標分別為，，是線段上一點（與，點不重合），拋物線（）經過點，，頂點為，拋物線（）經過點，，頂點為，，的延長線相交于點．

（1）若，，求拋物線，的解析式；

（2）若，，求的值；

（3）是否存在這樣的實數（），無論取何值，直線與都不可能互相垂直？若存在，請直接寫出的兩個不同的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線L1的解析式為y=，拋物線L2的解析式為y=（2）m=±2（3）存在

【解析】

試題分析：（1）把a、m代入得到已知點，把點代入函數的解析式，然后構成方程組，根據待定系數法可求出函數的解析式；

（2）如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，把a=-1代入函數解析式，然后結合（m，0）和（-4，0）代入可求解出函數解析式L1，然后分別求出D點坐標，得到DG、AG的長，同理得到L2，求得EH，BH的長，再根據三角形相似的判定與性質構造方程求解即可；

（3）根據前面的解答，直接寫出即可.

試題解析：（1）由題意得

解得

所以拋物線L1的解析式為y=

同理，

解得

∴所以拋物線L2的解析式為y=

（2）如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H

由題意得

解得

∴拋物線L1的解析式為y=-x2+（m-4）x+4m

∴點D的坐標為（，）

∴DG=，AG=

同理可得，拋物線L2的解析式為y=-x2+（m+4）x-4m

EH=，BH=

∵AF⊥BF，DG⊥x軸，EH⊥x軸

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°

∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF

∴△ADG∽△EBH

∴

∴

解得m=±2

（3）存在，例如：a=-，a=-.（答案不唯一）