Question

【題目】已知AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上.

（1）如圖1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圓O的半徑；

（2）如圖2，M是的中點，E是直徑AB上一點，AM分別交CE，BC于點F，D. 過點F作FG∥AB交邊BC于點G，若△ACE與△CEB相似，請探究以點D為圓心，GB長為半徑的⊙D與直線AC的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）半圓O的半徑為；

（2）⊙D與直線AC相切，理由見解析

【解析】試題分析：(1)依據直徑所對的圓周角是直角可得∠C＝90°,2再依據三角函數即可求解;(2) 依據△ACE與△CEB相似證出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依據M是的中點,證明CF＝CD, 過點F作FP∥GB交于AB于點P, 證出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再證四邊形FPBG是平行四邊形,得到 FP＝GB從而CD＝GB,點D到直線AC的距離為線段CD的長.

試題解析：

（1）∵ AB是半圓O的直徑，

∴ ∠C＝90°．

在Rt△ACB中，AB＝

＝

＝2 ．

∴ OA＝

（2）

⊙D與直線AC相切.

理由如下：

由（1）得∠ACB＝90°．

∵ ∠AEC＝∠ECB＋∠6，

∴ ∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．

∵ △ACE與△CEB相似，

∴ ∠AEC＝∠CEB＝90°．

在Rt△ACD，Rt△AEF中分別有

∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．

∵ M是的中點，

∴ ∠COM＝∠BOM．

∴ ∠1＝∠2，

∴ ∠3＝∠4．

∵ ∠4＝∠5，

∴ ∠3＝∠5．

∴ CF＝CD．

過點F作FP∥GB交于AB于點P，則∠FPE＝∠6．

在Rt△AEC，Rt△ACB中分別有

∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．

∴ ∠ACE＝∠6＝∠FPE．

又∵ ∠1＝∠2，AF＝AF，

∴ △ACF≌△APF．

∴ CF＝FP．

∵ FP∥GB，FG∥AB，

∴ 四邊形FPBG是平行四邊形．

∴ FP＝GB．

∴ CD＝GB．

∵ CD⊥AC，

∴ 點D到直線AC的距離為線段CD的長

∴ ⊙D與直線AC相切.